Ce livre est une initiation aux approches modernes de loptimisation mathématique de formes. Il sappuie sur les seules connaissances de première année de Master de mathématiques, mais permet déjà daborder les questions ouvertes dans ce domaine en pleine effervescence. On y développe la méthodologie ainsi que les outils danalyse mathématique et de géométrie nécessaires à létude des variations de domaines. On y trouve une étude systématique des questions géométriques associées à lopérateur de Laplace, de la capacité classique, de la dérivation par rapport à une forme, ainsi quun FAQ sur les topologies usuelles sur les domaines et sur les propriétés géométriques des formes optimales avec ce qui se passe quand elles nexistent pas, le tout avec une importante bibliographie.