Este libro se ha diseñado para estudiantes de ciencias e ingeniería y particularmente para los de Ingeniería, teniendo siempre presente el objetivo de motivar y desarrollar la capacidad de razonamiento matemático y la de saber aplicar las ecuaciones diferenciales a la resolución de problemas de ingeniería.
El libro está basado en los cursos que el autor ha venido impartiendo durante años sobre ecuaciones diferenciales y, en particular, en los diez últimos años en las asignaturas de Cálculo II y Ecuaciones Diferenciales.
Su contenido se orienta hacia las técnicas de resolución analítica de los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas haciendo hincapié en los procesos de modelización de los problemas científico-técnicos, tratando así de que las aplicaciones se vean como un proceso natural. Se destaca que el objetivo de resolver ecuaciones diferenciales en contextos aplicados, no está solamente en obtener soluciones y expresiones de las mismas, sino también en saber interpretarlas dentro de los procesos y modelos matemáticos que con ellas se formulan.
Para aquellos casos donde la determinación de las soluciones de forma analítica resulta muy laboriosa o incluso imposible se exponen técnicas numéricas que permiten la aproximación de dichas soluciones, desarrollando pequeños códigos en Matlab/Octave para la realización de los cálculos y para ilustrar también las soluciones de manera gráfica. En estas situaciones, donde los procedimientos de resolución analítica resultan limitados, el lector debe comprender que las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones deben situarse, dentro del área de los modelos numéricos.
En cada capítulo se desarrollan de forma muy detallada numerosos Ejemplos y se propone la resolución de variadas Tareas, tratando de que el proceso de estudio sea el de aprender haciendo considerando que la reflexión previa y el poner cada cuestión en su contexto teórico son tareas esenciales para alcanzar una adecuada formación y mejor estructuración del conocimiento.
Tras la introducción, los capítulos 2 al 6 exponen las ecuaciones de variables separadas, exactas y reducibles a exactas mediante factores integrantes, la ecuación lineal de primer orden, cambio de variable en las ecuaciones de primer orden, la existencia y unicidad de solución de los problemas de valor inicial y las aplicaciones de las ecuaciones de primer orden.
Después en los capítulos, 7 al 12, se desarrolla el estudio de las ecuaciones de orden n y los sistemas, la resolución en los casos de coeficientes constantes y también los métodos de autovalores y del operador D para las ecuaciones y sistemas de coeficientes constantes y también el método de la exponencial de la matriz para dichos sistemas de coeficientes constantes. Seguidamente se tratan las aplicaciones de las ecuaciones y sistemas a la resolución de problemas de dinámica y el estudio de las ecuaciones diferenciales de coeficientes variables, la reducción de orden, la ecuación de Cauchy-Euler, el desarrollo en serie en puntos ordinarios y en puntos singulares regulares con el método de Frobenius, y las ecuaciones diferenciales de Legendre y Bessel.
Finalmente, en los capítulos, 13 y 14, se exponen los problemas de contorno, la función de Green, los desarrollos de Fourier y problemas de Sturm-Liouville, terminando con la resolución numérica de los problemas de contorno, mediante diferencias finitas, construyendo fórmulas de derivación numérica y desarrollando algo-ritmos para los casos de condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann y Robin y los correspondientes códigos en Matlab/Octave. Aquí se tratan los problemas de segundo orden sobre deformación longitudinal de una barra elástica, desplazamientos transversales de un cable, la difusión de calor en una barra conductora y los problemas de cuarto orden sobre la flexión en vigas y pilares.
1. Introducción y generalidades sobre ecuaciones diferenciales
1.1. ¿Qué es una ecuación diferencial? Un poco de historia
1.2. Ecuación en derivadas parciales (EDP)
1.3. Interés de las ecuaciones diferenciales.
1.4. Orden de una ecuación diferencial y número de constantes tras la integración. Concepto de solución
1.5. Linealidad y no linealidad en una ecuación diferencial
1.6. Forma normal o explícita de la ecuación. Forma implícita. Otras formas
1.7. Concepto de problema de valor inicial (PVI)
1.8. Familia n-paramétricas de soluciones
1.9. Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial de primer orden. Método de Euler
1.10. Modelización y ecuaciones diferenciales
2. Ecuaciones de primer orden separables, exactas y reducibles a exactas mediante factores integrantes
2.1. Ecuaciones de variables separadas
2.2. Ecuaciones exactas
2.3. Ecuaciones reducibles a exactas mediante factores integrantes
2.4. Aplicación a la modelización del avance de una máquina quitanieves
3. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
3.1. Ecuación lineal homogénea y completa
3.2. Estructura de espacio vectorial de las soluciones de la homogénea asociada
3.3. Método de Lagrange de variación de las constantes para la determinación de una solución particular de la ecuación completa
3.4. Método de coeficientes indeterminados para la determinación de una solución particular de la ecuación completa
3.5. Aplicación de las ecuaciones lineales a los problemas de crecimiento/decrecimiento, enfriamien-to/calentamiento de Newton y modificación de precios de artículos.
4. Cambio de variable en las ecuaciones de primer orden
4.1. Diferentes tipos de cambio de variable en las ecuaciones diferenciales de primer orden
4.2. Ecuación de Bernoulli
4.3. Ecuación de Riccati
4.4. Modelo logístico como mejora del modelo exponencial
4.5. Variantes del modelo logístico
5. Existencia y unicidad de solución en los Problema de Valor Inicial (PVI)
5.1. Existencia y unicidad de solución en los problemas de valor inicial
5.2. Teorema de existencia de solución del problema de valor inicial de Cauchy-Peano
5.3. Teorema de Picard de existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial
6. Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden.
6.1. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
6.2. Trayectorias ortogonales
6.3. Balance de volúmenes y masas
6.4. Distribución de esfuerzos en una barra
6.5. Distribución de presiones en una columna de fluido
6.6. Algunas aplicaciones de la segunda ley de Newton
7. Generalidades sobre ecuaciones diferenciales de orden n y sistemas de ecuaciones diferenciales ordina-rias
7.1. Introducción
7.2. Ejemplos de transformación de ecuación a sistema en problemas de dinámica
7.3. Paso de ecuación de orden n a un sistema de primer orden
7.4. Transformación de un sistema en una ecuación de orden n mediante eliminación
7.5 Modelo depredador-presa como caso de sistema no lineal
8. Sistemas de primer orden y ecuaciones de orden n lineales. Resolución en los casos de coeficientes cons-tantes
8.1. Sistema lineal de primer orden. Casos homogéneo y completo
8.2. Estructura del conjunto de soluciones
8.3. Solución particular del sistema completo por el método de Lagrange o de variación de las constantes
8.4. Ecuaciones lineales de coeficientes constantes de orden dos y de orden n superior a dos
8.5. Solución particular de la ecuación completa de orden n por los métodos de Lagrange y de coeficientes indeterminados
8.6. Existencia y unicidad de solución para los PVI relativos a ecuaciones lineales de orden n y sistemas lineales de primer orden
9. Métodos de autovalores y del operador D para la resolución de ecuaciones y sistemas de coeficientes constantes
9.1. Resolución de sistemas lineales de primer orden de coeficientes constantes por el método de autovalores. Caso de autovalores simples
9.2. Caso de autovalores repetidos y complejos
9.3. Método del operador D
9.4. Método del operador D para ecuaciones lineales de coeficientes constantes
9.5. Método del operador D para sistemas lineales de coeficientes constantes
10. Aplicación de la exponencial de la matriz a la resolución de sistemas de coeficientes constantes
10.1. Introducción
10.2. Normas, sucesiones y series de matrices
10.3. Exponencial de una matriz. Propiedades
10.4. Determinación de la exponencial mediante la forma de Jordan de la matriz
10.5. Exponencial de una matriz con funciones reales para autovalores complejos
10.6. Exponencial mediante la aplicación del teorema de Cayley-Hamilton
10.7. Funciones de matrices
11. Aplicaciones de las ecuaciones y sistemas a la resolución de problemas de dinámica
11.1. Introducción
11.2. Oscilaciones con un grado de libertad. Analogía eléctrica
11.3. Oscilaciones con varios grados de libertad. Analogía eléctrica
11.4. Procedimiento de los modos de vibración
12. Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables
12.1. Introducción
12.2. Reducción del orden de una ecuación diferencial lineal cuando se conoce una solución
12.3. Ecuación de Cauchy-Euler
12.4. Relación entre la ecuación lineal de segundo orden de coeficientes variables la ecuación de Riccati
12.5. Resolución de ecuaciones de coeficientes variables mediante desarrollo en serie
12.6. Puntos ordinarios y singulares de la ecuación diferencial lineal de segundo orden
12.7. Desarrollo de la solución en el entorno de puntos ordinarios. Método de Taylor y de coeficientes indeterminados
12.8. Ecuación diferencial de Legendre
12.9. Desarrollo de la solución en el entorno de puntos singulares regulares. Método de Frobenius
12.10. Ecuación diferencial de Bessel
13. Problemas de contorno. Función de Green, desarrollos de Fourier y problemas de Sturm-Liouville
13.1. Introducción
13.2. Problemas de contorno
13.3. Teorema de la alternativa
13.4. Función de Green
13.5. Autovalores y autofunciones
13.6. Desarrollos de Fourier y problemas de Sturm-Liouville
14. Resolución numérica de problemas de contorno. Aplicaciones
14.1. Introducción
14.2. Construcción de fórmulas de derivación numérica
14.3. Algoritmos de resolución para condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann y Robin
14.4. Resolución de problemas de contorno por el método de tiro
14.5. Deformación longitudinal de una barra elástica
14.6. Desplazamientos transversales de un cable sometido a tracción
14.7. Difusión de calor en una barra conductora
14.8. Problemas de flexión en vigas y pilares
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